POLIEDROS

Definición de poliedro

Un poliedro es la región del espacio limitada por polígonos.

Elementos de un poliedro


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Caras

Las caras de un poliedro son cada uno de los polígonos que limitan al poliedro.

Aristas

Las aristas de un poliedro son los lados de las caras del poliedro. Dos caras tienen una arista en común.

Vértices

Los vértices de un poliedro son los vértices de cada una de las caras del poliedro. Tres caras coinciden en un mismo vértice.

Ángulos diedros

Los ángulos diedros están formados por cada dos caras y tienen una arista en común.

Ángulos poliédricos

Los ángulos poliédricos están formados por tres o más caras del poliedro y tienen un vértice común.

Diagonales

Las diagonales de un poliedro son los segmentos que unen dos vértices no pertenecientes a la misma cara.

Relación de Euler

En todos los poliedros convexos se verifica siempre que:
Nº de caras + Nº de vértices = Nº de aristas + 2.

Tipos de poliedros

Poliedro convexo

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En un poliedro convexo una recta sólo pueda cortar a su superficie en dos puntos.

Poliedro cóncavo

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En un poliedro cóncavo una recta puede cortar su superficie en más de dos puntos, por lo que posee algún ángulo diedro entrante.

Poliedros regulares

Un poliedro regular tiene todos sus ángulos diedros y todos sus ángulos poliedros iguales y sus caras son polígonos regulares iguales.
Sólo existen cinco poliedros regulares:
POLIEDROS


Esta frase se podía leer encima de la puerta de entrada a la Academia de Platón (siglo IV a. de C.) donde se reunían a discutir problemas de filosofía, lógica, política, arte, etc. y nos da una idea de la importancia que desde antiguo se ha concedido al conocimiento de la Geometría.
El astrónomo y físico italiano Galileo Galilei (1.564-1.642) refiriéndose al Universo escribía: “Este grandísimo libro que continuamente tenemos abierto ante los ojos no se puede entender si antes no se aprende a entender la lengua y a conocer los caracteres en los cuales está escrito. Está escrito en lengua matemática y los caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas”.
En esta unidad vas a iniciar el estudio de unos cuerpos geométricos omnipresentes en la Naturaleza y en las obras de los humanos: los poliedros. Haremos un estudio más profundo de los más habituales y sencillos (los poliedros regulares) y acabaremos con los cuerpos de revolución (cilindro, cono y esfera).
Te vendrá bien recordar los polígonos regulares y sus aplicaciones en teselados y cubrimientos del plano.
Esta unidad necesitará de tu trabajo manual, para el cual utilizaremos cartulinas, tijeras, pegamento, hojas de polígonos troquelados, varillas, plastilina, polydrón, plástico poroso (porespan), etc.
Un cuerpo sólido es todo lo que ocupa lugar en el espacio. En Geometría se estudian sus formas y medidas (Geometría sólida o espacial).
Los cuerpos geométricos pueden ser de dos clases: o formados por caras planas (poliedros), o teniendo alguna o todas sus caras curvas (cuerpos redondos).


  1. En la figura siguiente tienes dibujados algunos cuerpos
external image poli1.jpg
a. ¿Qué características comunes ves a todos ellos?
b. Dibuja otros tres cuerpos con las mismas características.
c. Piensa objetos reales en los que aparezcan poliedros.
Estos cuerpos se llaman poliedros y podemos decir de forma simplificada que son sólidos limitados por caras en forma de polígonos.

Ángulos diedros
Dos planos que se cortan, dividen el espacio en cuatro regiones. Cada una de ellas se llama ángulo diedro o simplemente diedro. Las caras del diedro son los semiplanos que lo determinan y la recta común a las dos caras se llama arista.
external image arista.gif
Si tenemos tres o más planos que se cortan mediante rectas que concurren en un mismo punto, la región de espacio que limitan se llama ángulo poliedro y al punto común se le llama vértice.
Según el número de caras que formen el ángulo poliedro, estos reciben un nombre diferente. Así, si son tres planos se le llama triedro, si cuatro, tetraedro, si cinco, pentaedro, etc.
external image triedros.gif
¿Encuentras algún triedro en tu aula? ¿Se te ocurre algún lugar donde aparezcan tetraedros?

  1. Observa los siguientes poliedros.

    external image polie2.jpg

    Si los sitúas en un plano, observa que hay dos que no se pueden apoyar sobre todas sus caras. ¿Cuáles son?. Sin embargo, los otros dos sí. A los poliedros que tienen alguna cara sobre la que no se pueden apoyar, se les llama cóncavos y a los demás convexos. Nosotros vamos a trabajar siempre, salvo que se indique lo contrario, con poliedros convexos.

  2. En la figura siguiente tienes pintado un poliedro. En él se te indican algunos elementos característicos.

    external image polied4.gif
    a. ¿Cómo definirías cada uno de estos elementos?
    b. ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene este poliedro?
    c. ¿Cuántas caras se habrán de juntar en un vértice como mínimo?
    d. ¿Cuánto pueden sumar los ángulos de las caras que concurren en un mismo vértice como máximo?

  1. || Al número de caras que concurren en un mismo vértice se le llama orden del vértice. ||

Todos estos son prismas:


Prisma cuadrado:
Sección:
external image square-prism.png
external image square.png

Cubo:
Sección:
external image cube.png
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(sí, un cubo es un prisma, porque es un cuadrado
en toda su longitud)
(Mira también los prismas rectangulares )

Prisma triangular:
Sección:
external image triangular-prism.png
external image triangle.png

Prisma pentagonal:
Sección:
external image pentagonal-prism.png
external image pentagon.png


Prismas regulares e irregulares

Todos los ejemplos anteriores son prismas regulares, porque la sección es regular (es decir, una forma con lados de la misma longitud)
Aquí tienes un ejemplo de prisma irregular:
Prisma irregular pentagonal:
Sección:
external image irr-pentagonal-prism.png
external image irregular-pentagon.png
(Es "irregular" porque el
pentágono no tiene forma "regular")

Volumen de un prisma

El volumen de un prisma es simplemente el áre de un extremo por la longitud del prisma
prism area
prism area

Volumen = Area × Longitud
Ejemplo: ¿Cuál es el volumen de un prisma cuyo extremo es 25 cm2 y que tiene 12 cm de longitud?
Respuesta: Volumen = 25 cm2 × 12 cm = 300 cm3

(Nota: tenemos una herramienta para calcular áreas)

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